Movimiento e Interacciones

Vectores

FACILITADOR: ING. EDWARD LUGO

Vector

Es una cantidad orientada, el cual tiene tanto magnitud como dirección y sentido
La velocidad, la fuerza, la aceleración y el desplazamiento son ejemplos de vectores.
El tiempo, la temperatura y la energía son escalares: sólo tienen magnitud, no tienen dirección asociada a ellas.
Los vectores se representan mediante flechas, en que la longitud de la flecha se traza proporcionalmente a la magnitud del vector. Las letras que representan vectores se escriben en negrita.

En la unidad de aprendizaje de  Unidades y Magnitudes habíamos hablado que en física debemos distinguir entre vectores y escalares.

En conclusión un vector puede utilizarse para representar una magnitud física, quedando definido por un módulo y una dirección u orientación. Su expresión geométrica consiste en segmentos de recta dirigidos hacia un cierto lado, asemejándose a una flecha.

Vector Unitario

Un vector unitario o versor es un vector de módulo uno. En ocasiones se le llama también vector normalizado.

Un vector unitario se denota frecuentemente con un acento circunflejo sobre su nombre, como ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$

Ejemplo: Realice la suma de (4,3)

Descomposición de un Vector

Un vector puede descomponerse en una suma de dos vectores que forman entre si un ángulo de 90⁰. Esta operación se denomina descomposición rectangular del vector, para determinar las componentes del vector se utilizan el método gráfico y el analítico.

Método gráfico

En un eje de coordenadas cartesianas x,y se traza a escala el vector F, haciendo coincidir el origen con el punto (0,0). Desde el extremo del vector se trazan perpendiculares a los ejes, trazando un segmento orientado desde el origen, hasta los puntos de intersección de las perpendiculares con los ejes, obtenemos los vectores Fx,Fy que son las componentes rectangulares del vector F

Método analítico

Para hallar las coordenadas de las componentes se utilizan funciones trigonométricas y teoremas estudiados en la solución de triángulos rectángulos.

Analicemos el triángulo, de ángulo base Fxi:

Por definición del seno (sen) y coseno (cos) del ángulo θ se tiene:

Fx= F.cos θ
Fy= F.Sen θ

Fx= componente en x
Fy= componente en y

Problema propuesto

Encuentra en forma gráfica y analítica las componentes rectangulares de un vector cuyo módulo es de 60m y forma un ángulo de 45º con respecto a la horizontal en sentido noreste.

Suma de Vectores. 

Método Gráfico 
Para sumar escalares, como tiempo, se usa la aritmética simple. Si dos vectores se encuentran en la misma recta también podemos usar aritmética, pero no así si los vectores no se encuentran en la misma recta. 
Por ejemplo, si Usted. se desplaza 4 km hacia el este y luego 3 km hacia el norte, su desplazamiento neto o resultante respecto del punto de partida tendrá una magnitud de 5 km y un ángulo = 36.87º respecto del eje x positivo.
Vectorialmente, el desplazamiento resultante VR, es la suma de los vectores V1 y V2, o sea, escribimos VR = V1 + V2 Esta es una ecuación vectorial.
La regla general para sumar vectores en forma gráfica (con regla y transportador), que de hecho es la definición de cómo se suman vectores, es la siguiente:

1. Use una misma escala para las magnitudes.
2. Trace uno de los vectores, digamos V1 
3. Trace el segundo vector, V2, colocando su cola en la punta del primer vector, asegurándose que su dirección sea la correcta.
4. La suma o resultante de los dos vectores es la flecha que se traza desde la cola del primer vector hasta la punta del segundo.

Este método se llama suma de vectores de cola a punta.Notemos que V1 + V2 = V2 + V1, esto es, el orden no es importante.
Este método de cola a punta se puede ampliar a tres o más vectores. 

Un segundo método para sumar dos vectores es el método del paralelogramo, equivalente al de cola y punta. En este método se trazan ambos desde un origen común y se forma un paralelogramo usando los dos como lados adyacentes. La resultante es la diagonal que se traza desde el origen común.

Resta de Vectores

Dado un vector V se define el negativo de ese vector (-V) como un vector con la misma magnitud que V, la misma dirección, pero con sentido opuesto:
La diferencia de dos vectores A y B se define comoA - B = A + (-B) De modo que podemos aplicar las reglas de su suma para restarlos.

Multiplicación de un Vector por un Escalar
Se puede multiplicar un vector V por un escalar c. Se define este producto de tal manera que cV tenga la misma dirección que V y tenga la magnitud cV. Si c es positivo, no afecta el sentido. Si c es negativo, el sentido es exactamente opuesto a v.

Suma de Vectores
Método Analítico
• Suma de Componente es la suma gráfica de vectores con regla y transportador a veces no tiene la exactitud suficiente y no es útil cuando los vectores están en tres dimensiones.
Sabemos, de la suma de vectores, que todo vector puede descomponerse como la suma de otros dos vectores, llamados las componentes vectoriales del vector original. Para sumarlos, lo usual es escoger las componentes sumando a lo largo de dos direcciones perpendiculares entre sí.

Ejemplo Suma Vectores: suponga un vector V cualquiera
Trazamos ejes coordenados x y con origen en la cola del vector V. Se trazan perpendiculares desde la punta del vector V a los ejes x y y determinándose sobre el eje x la componente vectorial Vx y sobre el eje y la componente vectorial Vy.
Notemos que V = Vx + Vy de acuerdo al método del paralelógramo.
Las magnitudes de Vx y Vy, o sea Vx y Vy, se llaman componentes y son números, positivos o negativos según si apuntan hacia el lado positivo o negativo de los ejes x y y.
Notese también que Vy = Vsen y Vx = Vcos

Suma de Vectores Unitarios 

frecuentemente las cantidades vectoriales se expresan en términos de unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene magnitud igual a uno. Sirven para especificar una dirección determinada. Se usan los símbolos i, j y k para representar vectores unitarios que apuntan en las direcciones x, y y z positivas, respectivamente.
Ahora V puede escribirseV = Ax i + Ay j Si necesitamos sumar el vector A = Ax i + Ay j con el vectorB = Bx i + By j escribimosR = A + B = Ax i + Ay j + Bx i + By j = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j Las componentes de R (=A + B) son Rx = Ax + Bx y Ry = Ay + By

Problema Ilustratorio

El siguiente ejercicio es para aclarar el uso de vectores unitarios en este método analítico.
Un auto recorre 20 km hacia el Norte y después 35 km en una dirección 60º al Oeste del Norte. Determine magnitud y dirección del desplazamiento resultante del auto.
(Para Realizar en el ambiente de aprendizaje).


Sistema de Referencia Cartesiano en Tres Dimensiones 

constituido por tres rectas que se cruzan perpendicularmente en el origen de coordenadas. Las rectas son conocidas como los ejes “x”,”y” y ”z”, 
+ y (j)
+ x (i)
+ z (k)

Sistema de Referencia Polar

Toma en Cuenta un origen a partir del cual se traza al vector y una recta de referencia horizontal a partir del cual se miden los ángulos hasta encontrar el vector , la recta parte del origen mencionado.
Ejemplo:
A = 10 [m] + 30°
A = 10[m] - 330°
30°

Sistema de Referencia Geográfico

Este sistema toma en cuenta los cuatro puntos cardinales
N (Y)   
O (-X)
E (X)
S (-Y)

Componentes Rectangulares de un Vector

El método geométrico de suma de vectores no es el procedimiento recomendado en situaciones donde se requiere alta precisión o en los problemas tridimensionales.
En esta sección se describe un método para sumar vectores que hacen uso de las proyecciones de un vector a lo largo de los ejes de un sistema de coordenadas rectangular , a estas proyecciones se las llama componentes de un vector cualquier vector se puede describir completamente por sus componentes.

Con esto mencionado se pueden realizar las Transformaciones de Coordenadas.

• De Sistema Cartesiano a Sistema Polar.
• De Sistema Polar a Sistema Cartesiano.

 Suma de Vectores.
El manejo de las diferentes magnitudes vectoriales en el Estudio de la mecánica Clásica requiere permanentemente la suma de dichas magnitudes, por ello resulta de especial interés la suma vectorial como una herramienta de trabajo para resolver problemas.
4.1 Método Gráfico (método del polígono)
Se colocan los vectores sumandos uno a continuación del otro, de tal manera que coincidan cabeza con cola. El vector resultante se obtiene uniendo la primera cola con la ultima cabeza, quedando cabeza con cabeza .
Ejemplo:
R = A + B + C + D
A D
C
B

Método Analítico (Descomposición Vectorial )

Para sumar vectores analíticamente se procede como en la SUMA ALGEBRAICA, es decir con todas sus propiedades y particularmente con el primer caso de factorización (factor común).
El vector resultante se obtiene mediante la suma algebraica de los módulos y además respetando las operaciones y los respectivos signos de cada vector.
Método Analítico

MÉTODO ANALÍTICO

1.-Dibuje todos los vectores a partir del origen en un sistema coordenado

2.-Descomponga todos los vectores en sus componentes "X" y "Y".

3.-Encuentre la componente "X" de la resultante sumando los componentes "X" de todos los vectores.
Rx= Ax+Bx+Cx+.....

4.-Encuentre la componente "Y" de la resultante sumando los componentes "Y" de los vectores.
Ry= Ay+By+Cy+......

5.-Obtenga la magnitud y dirección de la resultante a partir de dos vectores perpendiculares.

EJEMPLO:
Tres cuerdas están atadas a una estaca ejerciendo los siguientes fuerzas. Obtener la fuerza ejercida sobre la estaca.
A=20 lb E
B=30 lb NO
C= 40lb 52º SO

(Para Realizar en el ambiente de aprendizaje).

R= 27.81 lb 201.75º

Producto escalar

En matemáticas el producto escalar, también conocido como producto interno o producto punto, es una función definida sobre un espacio vectorial cuyo resultado es una magnitud escalar. El nombre espacio escalar se utiliza para denominar un espacio vectorial real sobre el que se ha definido una operación de producto interior que tiene como resultado un número real.

Definición simplificada para espacios euclídeos reales

El producto escalar en el caso particular de dos vectores en el plano, o en un espacio euclídeo N-dimensional, se define como el producto de sus módulos multiplicado por el coseno del ángulo θ que forman. El resultado es siempre una magnitud escalar. Se representa por un punto, para distinguirlo del producto vectorial que se representa por un aspa:
El producto escalar también puede calcularse a partir de las coordenadas cartesianas de ambos vectores, en una base ortonormal (ortogonal y unitaria, es decir, con vectores de tamaño igual a la unidad y que forman ángulos rectos entre sí):



Producto vectorial

En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales.
Con frecuencia se lo llama también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior).

Definición

Sean dos vectores a y b en el espacio vectorial ℝ3. El producto vectorial entre a y b, como se mencionó antes, da como resultado un nuevo vector, al que llamaremos c. Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo, dirección y sentido:
El módulo de c está dado por
donde θ es el ángulo entre a y b.
La dirección de c es tal que c es ortogonal a a y ortogonal a b.
El sentido en el que apunta el vector c está dado por la regla del sacacorchos.
El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. Para evitar confusiones con la letra x, algunos autores denotan el producto vectorial mediante a ∧ b cuando escriben a mano.

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:
donde es el versor ortogonal a los vectores a y b y su sentido está dado por la regla del sacacorchos y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla del sacacorchos se la llama a menudo también regla de la mano derecha.
Base del espacio vectorial.
Sea un sistema de referencia en el espacio vectorial ℝ3. Se dice que S es una base ortonormal derecha si cumple con las siguientes tres condiciones:
, es decir, los tres vectores son ortogonales entre sí;
, es decir, los vectores son ortonormales (y por lo tanto, dada la propiedad anterior, son versores); es decir, siguen la regla de la mano derecha (también llamada "regla del sacacorchos").
En la primera propiedad, denota producto interno.

Producto vectorial

Sean y dos vectores concurrentes de , el espacio afín tridimensional según la base anterior.
Se define el producto , y se escribe , como el vector:

En el que
, es el determinante de orden 2.
O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo de un determinante de orden 3 por la primera fila, también decimos:
Que da origen a la llamada regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, el sentido de es el de un sacacorchos que gire en el mismo sentido.


Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra mangnitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas anomalías se llaman pseudovectores o vectores axiales. Esas anomalías se deben a que no todo ente formado de tres componentes es un vector físico.

Dual de Hodge

En el formalismo de la geometría diferencial de las variedades riemannianas la noción de producto vectorial se puede reducir a una operación de dual de Hodge del producto de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dos vectores. Así el producto vectorial es simplemente:
Donde denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores.
El producto vectoral sólo es definible en tres dimensiones no existe ninguna extensión posible a otras dimensiones, cosa que puede probarse examinando la dimensionalidad del espacio de las (d-2)-formas y el de las 1-formas que solo coinciden para d = 3.

Otras operaciones vectoriales

Los vectores tienen definida la operación interna de adición de forma sencilla y casi evidente pero para el producto de dos vectores se definen tres operaciones externas:
producto escalar
producto vectorial
producto tensorial.
Con el producto escalar de vectores se encuentra que se pueden definir ángulos y distancias de una forma fácil y directa. Con el producto vectorial, también llamado producto cruz, encontraremos otra manera también de definir ángulos y áreas de paralelogramos definidos por dos vectores de una forma tal que permitirá expresar volúmenes fácil y sencillamente con el producto mixto.
El producto vectorial da como resultado un vector a partir de otros dos, pero no tiene por qué ser en el mismo espacio vectorial; pues en el plano definido por los dos vectores que se operan, el producto vectorial es una operación externa ya que su resultado es un vector perpendicular a dicho plano. Pero en el espacio afín tridimensional, , el producto vectorial es una operación interna.
Por ello el producto vectorial se define en ℝ3.

ANALISIS VECTORIAL

VECTORES.

Las magnitudes físicas se pueden clasificar, de una forma general, en magnitudes escalares y magnitudes vectoriales.

Las magnitudes escalares son aquellas que necesitan un número real para quedar completamente determinadas. Por ejemplo, la masa, la densidad, la temperatura, etc.

Las magnitudes vectoriales son aquellas que necesitan para su determinación un número real o módulo, una dirección y un sentido sobre la dirección. Por ejemplo, la fuerza, la velocidad, campo eléctrico, campo magnético, etc. En estas ultimas es en donde fijaremos la atención.

La representación gráfica de una magnitud vectorial es un segmento de recta, orientado, que recibe el nombre de vector

El módulo indica, en la unidad elegida, el valor numérico de la cantidad de la magnitud representada. Al origen A se le denomina punto de aplicación.

La dirección es la de la recta en que está contenido y el sentido se representa por una punta de flecha en su extremo.

Su representación en la escritura a mano se caracteriza dibujando una flecha corta sobre la letra o letras usadas para representarlo. En el texto se utilizarán letras negritas para el vector (a) y normal para el módulo (a).

Los vectores se clasifican atendiendo a su punto de aplicación en:

* Vectores libres. Son aquellos en que su punto de aplicación puede ser cualquier punto del espacio. Quedan determinados, por tanto, por su módulo, dirección y sentido.

* Vectores deslizantes. Su punto de aplicación puede ser uno cualquiera de la recta que lo soporta. Se caracterizan, por tanto, por su módulo, dirección, sentido y un punto cualquiera de la recta que los soporta.

* Vectores ligados o localizados. Se caracterizan por tener el punto de aplicación fijo. Luego quedan localizados por su módulo, dirección, sentido y su punto de aplicación fijo.


Con objeto de matizar, el que dos vectores deslizantes que tengan iguales módulos, direcciones y sentidos no sean iguales si sus rectas soportes son diferentes o que dos vectores ligados no son iguales si, presentando igualdad de sus elementos, tienen distinto origen, se introduce el concepto de equipolencia. Dos vectores son equipolentes cuando solo difieren en su punto de aplicación.

En los vectores libres no tiene sentido hablar de equipolencia al ser el punto de aplicación arbitrario.

Dos vectores deslizantes son equipolentes cuando sus rectas soporte son paralelas. Y dos vectores ligados son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.


OPERACIONES CON VECTORES LIBRES.

a) SUMA DE VECTORES.

Se define como suma de dos vectores libres a y b, al vector c que se obtiene representando el vector b a partir del extremo de a y uniendo el origen de a con el extremos de b. Esta definición puede extenderse a la suma de varios vectores. La figura resultante recibe el nombre de polígono vectorial.


Si en un caso dado el polígono vectorial resultase cerrado, es decir, al hacer la construcción el extremos del último vector coincidiera con el origen del primero, evidentemente el vector suma sería nulo. Este vector se denomina vector nulo.

En el caso de dos vectores a y b, la construcción del polígono vectorial es equivalente a construir un paralelogramo con los dos vectores llevados al mismo origen, y la diagonal de este paralelogramo nos dará el vector suma c 


La suma de vectores tiene la propiedad conmutativa.

a + b = b + a

y la asociativa
(a + b) + c = a + (b + c)


b) DIFERENCIA DE VECTORES.

Para poder definir la diferencia de dos vectores libres previamente debe conocerse el significado de vector opuesto.

Dado un vector a definimos el vector opuesto a a, que se simboliza por -a, como un vector del mismo módulo y dirección que a pero de sentido contrario.

Se define como diferencia de a -b, al vector que se obtiene de sumar a con el opuesto de b


a - b = a + (-b)

Al ser en realidad una suma, la diferencia de vectores tiene las mismas propiedades que la suma de vectores.






PRODUCTO Y COCIENTE DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.

El producto de un vector a por un escalar p es otro vector de la misma dirección, cuyo módulo es pa y del mismo sentido que a si p es positivo o de sentido opuesto si p es negativo

Posee las propiedades asociativa



distributiva respecto a la suma de escalares

(p + q) a = p a + q a

distributiva respecto a la suma de vectores

p (a + b) = p a + p b

El cociente entre un vector a y un escalar p, es igual a un vector de la misma dirección, de módulo a/p y del mismo sentido u opuesto a a según sea el signo de p.

De esta definición podemos deducir que, si dividimos un vector libre a por su módulo, el resultado es un vector que conserva la dirección y sentido de a, pero cuyo módulo es la unidad puesto que se obtiene dividiendo el módulo del vector a por un escalar de valor a. Este vector recibe el nombre de vector unitario.



COMPONENTES Y COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR LIBRE.

Para referir los desarrollos teóricos y las aplicaciones vectoriales elegimos como sistema de referencia el cartesiano trirrectangular a derechas, es decir, el formado por tres ejes (X, Y, Z), perpendiculares dos a dos y orientados de forma que al girar la cabeza de un sacacorchos en el sentido que de X a Y por el camino mas corto, la punta avanza en el sentido del eje Z. Este sistema así definido, también se denomina directo o dextrógiro.

Sobre cada uno de los ejes tomaremos un vector unitario que denominaremos respectivamente i, j, k y que constituyen los vectores fundamentales o base del sistema de referencia. Estos vectores estarán orientados en el sentido creciente de los ejes.

La terna de vectores elegidos son independientes entre sí, pues están dirigidos según las tres direcciones del espacio, independientes entre si. Todo vector en este espacio dependerá de esta base y podrá expresarse, de forma única, en función de los vectores de la base.

Consideremos un vector libre a. El polígono vectorial OPQR, expresa que a puede descomponerse en la suma de tres vectores perpendiculares entre si, cada uno sobre uno de los ejes.

los vectores reciben el nombre de componentes vectoriales de a.

Las componentes vectoriales pueden expresarse en función de los vectores unitarios del sistema cartesiano


según lo cual, el vector a queda expresado en función de los vectores unitarios, mediante


que constituyen la expresión analítica del vector. A los escalares se les denomina componentes escalares de a.

El módulo de a es la diagonal del paralépipedo recto, es decir


El vector unitario en la dirección de a viene dado por


Para determinar la dirección del vector hay que conocer los ángulos a, b y g, que forma con cada uno de los ejes del sistema de referencia 

Se deduce de lo expuesto que un vector queda determinado de alguna de las formas siguientes:

* A partir de sus tres componentes.
* A partir de su módulo y dos ángulos que forma con el sistema de referencia.
* A partir de las coordenadas de su extremo y origen.

Para la determinación de los vectores deslizantes y localizados, se procede de la misma manera que para un vector libre, añadiendo en los primeros la ecuación de su recta soporte y en los segundos las coordenadas de su punto de aplicación.

La expresión analítica de la suma de n vectores es:

por tanto, el vector suma tiene por componentes a las sumas de las respectivas componentes de los vectores sumados.

La expresión analítica del producto de un escalar por un vector es


y por tanto, el vector producto de uno dado por un escalar tiene por componentes el producto de la respectiva componente del vector dado por el escalar.


PRODUCTO ESCALAR.

El producto escalar de dos vectores a y b es un escalar de valor igual al producto de los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman


Proyectando uno de los vectores sobre el otro, se comprueba que la proyección del vector a sobre el vector b, representado por ab , es


aplicándolo al producto escalar


de igual forma


Es decir, el producto escalar de dos vectores puede representarse también, como el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Consecuencias de la definición de producto escalar:

* El producto escalar de dos vectores es positivo o negativo según que el ángulo de las direcciones de los vectores sea agudo u obtuso. Y será nulo cuando los vectores sean perpendiculares y máximo cuando los vectores sean paralelos.

* El producto escalar de un vector por si mismo es igual al cuadrado de su módulo

* Los productos escalares de los vectores unitarios de la base cartesiana trirrectangular, teniendo en cuenta lo expuesto anteriormente, valdrán:

i × i = j × j = k × k = 1 i × j = j × i = i × k = k × i = j × k = k × j = 0

El producto escalar posee la propiedad conmutativa


y la propiedad distributiva


pero no posee la propiedad asociativa

a × (b × c) ¹ (a × b) × c


Si los vectores a y b están expresados en forma analítica, es decir


multiplicando, miembro a miembro ambas expresiones, se tiene


sustituyendo, se obtiene la expresión analítica del producto escalar


PRODUCTO VECTORIAL.

El producto vectorial de dos vectores a y b, representado por a ´ b, es otro vector  con las siguientes características:

Þ Su módulo es igual al producto de los módulos, de ambos vectores, por el seno del ángulo que forman
a ´ b = a b sena

Þ Su dirección es perpendicular al plano definido por los vectores a y b.

Þ Su sentido es el del avance de un sacacorchos, cuyo sentido de giro coincidiera con el que lleve el primer vector a a coincidir con el segundo vector por el camino mas corto.


Geométricamente, el módulo del producto vectorial representa el área del paralelogramo formado por los dos vectores como lados.
b sena = altura
a = base
luego

= base×altura =
= área del paralelogramo.




Consecuencias de la definición de producto vectorial:

* El producto vectorial de dos vectores paralelos es el vector nulo y de dos vectores perpendiculares es máximo.

* Los productos vectoriales de los vectores unitarios de la base cartesiana trirrectangular, como son perpendiculares entre sí, valdrán


El producto vectorial posee la propiedad distributiva respecto a la adicción vectorial


y no posee las propiedades, ni conmutativa


ni asociativa


Si los vectores a y b vienen dados en sus expresiones analíticas


el producto vectorial de estos dos vectores será




obteniéndose la expresión analítica del producto vectorial


que coincide con el valor del determinante



PRODUCTO MIXTO.

Se define el producto mixto de tres vectores como un escalar de valor


y representa el volumen de un prisma de lados los propios vectores.

bc sena = área de la base

a cosb = altura

= volumen del prisma




El producto mixto será nulo si los vectores a, b y c son coplanarios y también si dos cualquiera de los vectores son paralelos.

Siendo las expresiones analíticas de los vectores a, b y c las siguientes


la expresión analítica del producto mixto coincide con el resultado del determinante:


Si permutamos dos filas entre si, con el consiguiente cambio de signo, obtenemos la igualdad entre los determinantes, que nos determinan la equivalencia entre los productos mixtos.




MOMENTO DE UNA MAGNITUD.

En el estudio de los fenómenos físicos además de conocer los valores de las magnitudes nos interesa saber sus posiciones en el espacio. El concepto de "momento" expresa en las ecuaciones matemáticas la distribución en el espacio de las magnitudes. Así y de una forma general, podemos decir que, el momento de una magnitud es el producto de su valor por una potencia de la distancia existente entre la posición de la magnitud y el origen de referencia, elegido previamente.

Según sea el valor de la potencia 1, 2,.....,n; se clasifican los momentos en, momentos de primer orden, segundo o en general enésimo orden.

Los momentos pueden ser de magnitudes escalares o de magnitudes vectoriales. Ejemplos de los primeros se encuentran en la Geometría de Masas, donde el objetivo es conocer la distribución de la masa de un sistema en el espacio; y ejemplos de los segundos, se encuentran en Dinámica y Electromagnetismo.

En el caso del momento de una magnitud vectorial, este se define en función de un producto vectorial, en donde la distancia se considera como vector. Así, el momento de un vector a  aplicado en A respecto de un punto cualquiera del espacio P (momento central) se define como el producto vectorial de la distancia que separa a P de A por el vector



De esta forma se tiene que a cada punto del espacio, le corresponde un momento distinto del mismo vector, formándose así un campo de momentos del vector a.

De la definición se deduce que la dirección de será normal al plano que definen a y r, y su sentido el del producto vectorial , siendo su módulo el área del paralelogramo que tiene a la distancia y al vector como lados.


es decir, el módulo del momento central es igual al producto del módulo del vector por la distancia al punto P, donde se desea hallar el momento, de la dirección del vector.

Se ha obtenido el valor que toma el momento de un vector localizado respecto a un punto P. Si el vector es deslizante da igual el punto de aplicación que se tome del vector en su recta soporte. Se comprueba fácilmente, considerando un vector deslizante a en dos posiciones dentro de su recta soporte, con origen en A y B, y se calcula el momento en P para ambas posiciones

y

pero, observando la geometría se verifica
r + AB = r¢

con lo cual se obtiene


y teniendo en cuenta la definición de producto vectorial se comprueba que


Es decir, que el momento de un vector deslizante respecto de un punto es único y no depende de la posición del punto de aplicación del vector, siempre que se mantenga sobre su recta soporte.

Esto lógicamente no es aplicable a un vector libre. Luego el concepto de momento respecto de un punto solo es definible para vectores ligados y para vectores deslizantes.

La relación existente entre los momentos de un mismo vector respecto de dos puntos distintos P y Q 



FUNCIÓN VECTORIAL.

En muchos procesos físicos, las magnitudes vectoriales no permanecen constantes, sino que van variando. Esto quiere decir, que sí por ejemplo, la expresión analítica de un vector a es


las componentes escalares del vector, en el sistema de referencia que hallamos elegido, no van a ser fijas, sino que pueden tomar diferentes valores en función de una cierta variable, de tal modo que, para un valor de la variable corresponda un valor del vector a, se tiene así una función vectorial, expresándose su dependencia funcional mediante

a = a(u)

siendo, en este caso, la variable u de carácter escalar.

En Física es común encontrase a menudo con magnitudes vectoriales variables, por ejemplo la velocidad v(t), siendo la variable escalar más típica el tiempo.

Como la función vectorial a va tomando distintos valores según varíe u, si llevamos los puntos de aplicación de los diferentes vectores (o sus equipolentes) a un punto común, observaremos que sus extremos describen una curva que se denomina hodógrafa.

Las funciones vectoriales pueden ser uniformes, si a un valor de la variable le corresponde un único vector; y multiformes en caso contrario. Por su especial interés se van a considerar las funciones vectoriales uniformes.

El estudio de la variación de las funciones vectoriales se basa en el concepto de derivada de un vector. Admitiendo que la función vectorial a es continua para todos los valores posibles de u, para un incremento de la variable Du, le corresponde un incremento del vector Da





Se denomina derivada vectorial de la función a respecto de la variable u, al límite del cociente entre el incremento del vector y el incremento de la variable, cuando esta última tiende a cero. Es decir


La derivada es pues, otra función vectorial, que tiene como:

Þ dirección, la de la tangente a la hodógrafa, ya que en el límite B tiende a confundirse con A y, por tanto, la recta soporte de a estará sobre la tangente a la hodógrafa en A.

Þ sentido, el del incremento del vector a para incrementos positivos de la variable u.

Þ módulo

ya que, en el límite, el módulo del incremento del vector a es equivalente al incremento del arco de la hodógrafa Ds.

Derivando sucesivamente respecto de u, se van obteniendo los vectores derivada segunda, tercera, etc.

Teniendo en cuenta que


en donde los vectores unitarios (i, j, k) son fijos, no dependiendo de u. La expresión analítica de la derivada vectorial será


pero los tres límites del segundo miembro son, por definición, las derivadas de las funciones escalares respecto de u, con lo que


que permite calcular el vector derivada mediante las derivadas escalares de las tres componentes.



INTEGRACIÓN VECTORIAL.


En Física se pueden encontrar integrales tanto de funciones escalares como vectoriales pudiendo ser estas a lo largo de una curva, sobre una superficie o en un volumen. La integración de vectores puede ser de dos formas, una que se refiere al producto escalar de la función vectorial por los diferenciales correspondientes, y la otra que consiste en la suma de vectores a lo largo de una curva, sobre una superficie o en un volumen.

a) Integral curvilínea.

Dada una función escalar , se define la integral a lo largo de una curva cuya longitud elemental en cada punto es dl, siendo los límites de integración a y b, de la siguiente forma

donde el valor de la función en el punto de coordenadas de la curva y es el arco elemental sobre la curva en el punto . La definición pone en evidencia que se trata de una suma de valores de la función escalar por la longitud elemental, sin que tenga influencia el sentido de recorrido del camino, es decir y dl son siempre positivos y por tanto,





Otro tipo de integral que se puede considerar como la integral de línea de una función escalar es la siguiente


La diferencia estriba en que la función proviene del producto escalar de dos funciones vectoriales.



Considérese ahora una función vectorial F(r) y un desplazamiento elemental con origen en un punto. Se define la circulación elemental de F como el producto , es decir dC es una magnitud escalar.

Desplazándose en el seno de un campo vectorial F(r) = f(x, y, z), desde un punto inicial A hasta otro final B, por una curva c, el recorrido se puede dividir en un conjunto infinito de pequeños desplazamientos diferenciales dr contenidos en la curva c. A la suma de las infinitas circulaciones elementales se le denomina circulación de la función vectorial F a lo largo de c


En general, como para ir de A a B hay infinitos caminos, en cada uno de ellos se obtendrán diferentes valores de la circulación C.


b) Integral de superficie.

Primero se recordará como se representa vectorialmente una superficie. Para ello considérese una superficie S cuya periferia está orientada.

El vector S, representante de la superficie, será igual a la suma vectorial de los infinitos elementos diferenciales de superficie dS


Cada dS será un vector de módulo dS, dirección la perpendicular al elemento de superficie, representado por el unitario n y sentido el de avance de un tornillo cuando su cabeza gira en el sentido de orientación de la periferia de la superficie.

En el caso de una superficie cerrada el vector superficie es nulo y el sentido, de los diferentes elementos de superficie, siempre salientes del espacio que envuelve la superficie.

Una vez expresada la representación de una superficie, si se tiene una superficie de área S, donde está definido una función vectorial F(r), se puede descomponer la superficie en infinitos elementos diferenciales dS (Fig.22), en cada uno de los cuales es posible determinar el flujo elemental.










La suma de todos los sumandos infinitesimales, en el límite, viene expresado por la integral


que constituye el flujo de la función vectorial F a través de la superficie S.

Se puede tener flujo nulo cuando en toda la superficie, F es perpendicular a dS, o también en una superficie cerrada, cuando el número de líneas de campo que entran es igual al número de líneas de campo que salen.


c) Integral de volumen.

Dada una función escalar U (r) la integral de volumen viene definida por


Esto significa que sumamos los valores de la función en cada punto multiplicada por el volumen elemental correspondiente. El resultado es un escalar cuyo signo depende únicamente de los valores que toma la función en cada punto del volumen.

Dada una función vectorial en un volumen V se define la integral de volumen de la siguiente manera




Expresión general de un Vector:
Todo vector cuyo espacio sea de tres dimensiones, se puede escribir en la forma:
Siendo ax, ay, az las componentes del vector y , a su vez, vectores unitarios dirigidos según los ejes coordenados x, y, z. El módulo del vector vendrá dado por:
Ángulos Directores de un Vector:
Se llaman ángulos directores de un vector a cada uno de los ángulos que forma con los ejes coordenados (x, y, z) según se muestra en la Gráfica 5.1.
: ángulo director del vector con el eje x: ángulo director del vector con el eje y: ángulo director del vector con el eje z
(1)
Los cosenos directores, se obtienen mediante:
(2)
Siendo el módulo del vector, de (1) y (2) se obtiene la relación entre los ángulos directores:
(3)
Gráfica 5.1



Der
1. Magnitudes escalares y vectoriales

La Física estudia los objetos o sistemas materiales caracterizándolos mediante propie­dades susceptibles de ser medidas, llamadas magnitudes. Deben ser mensurables, es decir traducibles a números, para poder establecer relaciones matemáticas entre ellas.
Así, cuando decimos que un cuerpo tiene extensión y sustancia evocamos concep­tos muy abstractos; sin embargo, expresar su volumen y su masa numéricamente nos permi­tirá calcular la densidad.
Un concepto abstracto pasa a ser una magnitud física cuando se da una definición operacional que especifica la manera precisa en que puede medirse. La definición tiene que hacer referencia a un patrón arbitrario o unidad e indicar el procedimiento para comparar la magnitud en cuestión con el patrón
La medida es el resultado numérico de dicha comparación y su valor depende de la unidad utilizada, por lo que es necesario espe­cificarla siempre (figura 1).

Figura 1
Una magnitud también puede obtener­se indirectamente a partir de otras. Para ello es preciso disponer de la definición constitutiva, que establece su valor en función de las otras. Por ejemplo, la densidad se define constituti­vamente como el cociente entre la masa del cuerpo y su volumen.
Es posible definir todas las magnitudes físicas en función de unas pocas, que se toman como fundamentales o dimensiones. En el ejemplo anterior, las dimensiones de la den­sidad serán masa/longitud 3 = ML-3 si tomamos masa y longitud como fundamentales. Esta elección es en cierto modo arbitraria, pero las dimensiones tienen que ser independientes entre sí.

En el Sistema Internacional (SI) las magnitudes fundamentales y sus unidades son: longitud (metro), masa (kilogramo), tiem­po (segundo), corriente eléctrica (amperio), temperatura (kelvin) e intensidad luminosa (candela). A ellas se añade el mol, un número puro, como medida de cantidad de sustancia.

Algunas magnitudes como el tiempo, la masa o la temperatura, al medir, quedan per­fectamente determinadas por un número real y la unidad correspondiente; son escalares.
Otras requieren varios números para definirlas porque, por su propia naturaleza, además del valor o módulo hay que especificar la dirección y sentido en el que actúan; son vectores.
Por ejemplo, el desplazamiento de una partícula desde un punto P1 a otro P2, con independencia de la trayectoria que haya se­guido, se representa por el segmento orientado r = P1P2 con origen en P1 y extremo en P2.

Figura 2
La distancia escalar s1, s2, ... recorrida en cada caso por la partícula es distinta, pero el efecto neto del movimiento es un cambio de posición que queda completamente determina­do por la distancia en línea recta de P1 a P2 y la dirección del desplazamiento.
Los vectores de la Física no son todos segmentos orientados; pero siempre tienen los atributos de módulo, dirección y sentido y sus propiedades son las mismas.
El carácter vectorial de una magnitud se suele simbolizar mediante una flecha sobre la letra que la designa o bien escribiendo ésta en tipografía negrita. Para referirse al módulo se usa la misma letra en cursiva o el símbolo del vector colocado entre barras verticales:
(1)
En cuanto a la dirección, se especifica dando un vector uv , que tenga módulo unidad (vector unitario) y la misma dirección y sentido que v.

Para estudiar las propiedades de los vectores es preciso empezar por aclarar cuán­do entendemos que dos vectores son iguales. Atendiendo a la definición de igualdad hay tres tipos de vectores:

- Libres: Son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido.
- Deslizantes: Son iguales si además actúan sobre la misma recta.
- Fijos: Son iguales si tienen el mismo módulo dirección y sentido y el mismo punto de aplicación.

Figura 3

Cada magnitud vectorial, según su na­turaleza, será representada por un tipo u otro de vector; incluso puede cambiar dependiendo de la circunstancia. Por ejemplo, una fuerza es un vector libre si atendemos a la aceleración que produce en un cuerpo Sin embargo, de­bemos considerarlo como deslizante si de lo que se trata es de calcular su momento respec­to de un punto.
En lo sucesivo se supondrá siempre que estamos hablando de vectores libres, a menos que se especifique lo contrario.
2. Álgebra vectorial

Como muchas magnitudes tienen ca­rácter vectorial es necesario conocer las pro­piedades de las operaciones entre vectores. Por el momento nos serviremos de segmentos orientados para representarlos, definir las ope­raciones y estudiar sus propiedades.

Suma geométrica de vectores

Sean los vectores a = MN y b = OP. La suma s = a + b se construye llevando el origen de b al extremo de a: b = OP = NS. Uniendo el origen de a con el extremo de b se obtiene s:



Figura 4

La suma de vectores tiene las propie­dades siguientes:

a) Conmutativa:
a + b = b + a (2)

Sean a = MN y b = NS los vectores de la figura 5. Por la definición anterior de suma, a + b = MS.

Figura 5
Para sumar el vector a al b hacemos:
b + a = NS + SP = NP
Ahora bien, MS = NP por ser lados opuestos de un paralelogramo, con lo que se cumple la igualdad (2).

b) Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c) (3)
Figura 6

Consideremos los tres vectores a , b y c de la figura y calculemos el primer miembro de la igualdad (3):
a + b = AC ; AC + c = (a + b) + c = AD
Por otra parte:
b + c = BD ; a + BD = a + (b + c) = AD
Evidentemente se obtiene el mismo resultado, así que puede prescindirse de los paréntesis en la suma. Esto permite sumar un número cualquiera de vectores poniéndolos origen con extremo y uniendo el origen del primero con el extremo del último.

c) Elemento neutro:
" a : a + 0 = a (4)
El elemento neutro de la suma de vec­tores es un segmento de longitud nula.

d) Elemento simétrico:
" a $ -a / a + (-a) = 0 (5)

Figura 7
El elemento simétrico de un vector a es otro de igual módulo y dirección pero de sentido opuesto, que se designa por -a.

Por tener estas propiedades, se dice que el conjunto de vectores V es un grupo abeliano respecto a la operación de sumar.


Resta de vectores

Se define la resta de dos vectores a y b como la suma del primero con el opuesto del segundo:
a - b = a + (-b) (6)

Figura 8


Multiplicación por un escalar

El producto de un vector a por un número real m es un nuevo vector m·a que tiene la misma dirección y cuyo módulo es m veces el del primero:
m·a a ; m·a = m a (7)
El sentido de m·a es el mismo que el de a cuando m > 0 y es el opuesto si m < 0. En particular, para m = -1 se verifica:
-1·a = - a (8)
El producto de un vector por un núme­ro cumple las siguientes propiedades:

a) Asociativa:
m·(n·a) = (mn)·a (9)
Es claro que los dos vectores de esta igualdad tienen la misma dirección (que es la de a) y el mismo sentido (el de a si mn > 0 o el opuesto si mn < 0). También tienen el mismo módulo, ya que:
m·(n·a) = m n·a = m (n a) = mn a
(mn)·a = mn a

b) Distributiva respecto a la suma de escalares:
(m + n)·a = m·a + n·a (10)
Los dos vetores tienen la misma direc­ción (la de a) y sentido (el de a si m + n > 0 ; el opuesto si m + n < 0). También se demuestra que tienen módulos iguales. Por ejemplo, si m y n son del mismo signo tenemos:

(m + n)·a = m + n a = (m + n) a =
= m a + n a = m·a + n·a = m·a + n·a

Para el último paso se ha tenido en cuenta que m·a y n·a son colineales.

c) Distributiva respecto a la suma de vectores:
m·(a + b) = m·a + m·b (11)
En efecto, los dos vectores de la igual­dad tienen la misma dirección y sentido, como puede verse en la figura 9, donde MN = a + b y PQ = m·a + m·b.

Figura 9

En cuanto al módulo, los triángulos de la figura son semejantes ya que tienen dos lados proporcionales (PO = m MO ; OQ = m ON ) y el ángulo comprendido entre ellos igual. El tercer lado estará en la misma propor­ción y por tanto:
PQ = m MN Þ m·a + m·b = m a + b

d) Elemento neutro:
1·a = a (12)

Cualquier conjunto V en el que se pue­dan definir operaciones de suma interna y de multiplicación por un escalar, si cumplen las propiedades que acabamos de estudiar para los segmentos orientados, se dice que es un espacio vectorial.
Las magnitudes vectoriales de la Física no son todas segmentos orientados; pero las propiedades de su suma y del producto por un número son las mismas, aunque dichas ope­raciones estén definidas de otra manera. Ésta es la razón de que se puedan representar las fuerzas, por ejemplo, mediante segmentos e incluso calcular y razonar con ellos como si lo fuesen.

Vector unitario

Un vector u es unitario si su módulo vale la unidad: u = 1. Se obtiene un vector unitario de igual dirección y sentido que un vector v cualquiera multiplicando éste por el inverso de su módulo, 1/v :
uv = v·1/v = v/v (13)
ya que uv = (v/v) = v/v = 1. Por tanto, un vector siempre se puede expresar como el pro­ducto de su módulo por el vector unitario:
v = v·uv = v ·uv (14)

3. Independencia lineal

Dado un conjunto {a1 , a2 , ... , an} de n vectores y otro {l1 , l2 , ... , ln} de números, el vector:
a = l1 a1 + l2 a2 + ... + ln an (15)
es una combinación lineal de los vectores {ai} del conjunto.
Se dice que los n {ai} son linealmente independientes si no es posible expresar nin­guno de ellos como combinación lineal de los otros. Esto equivale a afirmar que una combi­nación lineal de los n vectores {ai} no puede ser cero (a menos, claro está, que todos los coe­ficientes li lo sean):

l1 a1 + l2 a2 + ... + ln an = 0 Û
Û l1 = l2 = ... = ln = 0 (16)

Efectivamente, si un lj cualquiera fue­se distinto de cero se podría despejar el vector correspondiente aj , que resultaría ser combina­ción lineal de los otros:
(17)
4. Base de un espacio vectorial

Si en un espacio vectorial no es posible encontrar más de n vectores linealmente in­dependientes, se dice que es de dimensión n. Entonces, cualquier conjunto de n vectores li­nealmente independientes constituye una base del espacio vectorial V .
- Si A º {a1 , a2 , ... , an} es una base, todo vector de V se puede expresar como com­binación lineal de los vectores de A y dicha expresión es única.
En efecto, por la definición de base, todo a Î V es combinación lineal de los vec­tores de A ; es decir, existe un conjunto de nú­meros {l1 , l2 , ... , ln} tal que:
a = l1 a1 + l2 a2 + ... + ln an (18)
Para ver que ésta es la única forma de expresar a en la base A supongamos que hay otro conjunto de valores {m1 , m2 , ... , mn} que cumplen la misma condición,
a = m1 a1 + m2 a2 + ... + mn an (19)
y restemos las dos igualdades:
0 = (l1 - m1) a1 + ... + (ln - mn ) an (20)
Pero, como los {ai} son linealmente in­dependientes, la ecuación (20) sólo puede veri­ficarse si son nulos todos los coeficientes:
"i , (li - mi) = 0 Þ li = mi (21)
La importancia de este teorema está en que todo vector queda identificado por los n coeficientes li , que se denominan componen­tes del vector en la base A . Naturalmente, si se cambia de base las componentes también cambiarán, aunque el vector sigue siendo el mismo.
La mayor parte de los vectores de la Física son de dimensión 3, que es la dimensión del espacio euclídeo en que nos movemos.
5. Sistema cartesiano de referencia

Para nuestros desarrollos con vectores elegiremos una base en el espacio tridimen­sional, definiendo un sistema de referencia for­mado por tres ejes perpendiculares entre sí, Ox , Oy , Oz , orientados de la siguiente ma­nera: al llevar Ox sobre Oy por el camino más corto se obtiene un sentido de giro que haría avanzar un tornillo o un sacacorchos en la di­rección del eje Oz (figura 10). Este sistema de referencia se denomina cartesiano dextrógiro o directo.
Sobre los ejes se toman los vectores unitarios i , j , k respectivamente, que forman una base asociada al sistema de referencia O. Cualquier vector del espacio euclídeo podrá expresarse como una combinación lineal de esta base.
Figura 10
6. Expresión analítica de un vector

Dado el vector a , éste se descompone en suma de otros tres que son las proyecciones de a en la dirección de los ejes Ox , Oy , Oz :
a = ax + ay + az (22)
Cada uno de los vectores ax , ay , az es igual al producto de su longitud por el vector unitario correspondiente:
a = ax i + ay j + az k (23)
Es decir, a es una combinación lineal de la base {i , j , k}. Los coeficientes ax , ay , az son las componentes cartesianas o rectangu­lares del vector. Serán positivos o negativos según sean las proyecciones del mismo sentido que el vector unitario o de sentido contrario.

Figura 11

Fijado el sistema de referencia (y por tanto la base) a cada vector le corresponde una terna de componentes y cada terna determina un sólo vector. Por eso basta dar las tres com­ponentes cartesianas para definir un vector:
a º (ax , ay , az) (24)
Por ejemplo, los vectores de la base son i º (1 , 0 , 0) ; j º (0 , 1 , 0) ; k º (0 , 0 , 1).

El módulo de a será la diagonal del pa­ralelepípedo rectangular cuyas aristas son las componentes del vector. Teniendo en cuenta que a = OQ + az (figura 11) y aplicando dos veces el teorema de Pitágoras:
(25)
El vector forma con los ejes Ox , Oy , Oz los ángulos a , b , g respectivamente. Los cosenos de estos ángulos, llamados cosenos directores, valen:
(26)
Si se trata de un vector unitario, u = 1, los cosenos coinciden con las componentes:
cos a = ux ; cos b = uy ; cos g = uz (27)
Por tanto, hallar los cosenos directores de un vector a, equivale a dar su vector unita­rio ua. Y aplicando la definición de módulo se obtiene la siguiente relación entre los cosenos:
ua2 = 1 = cos2 a + cos2 b + cos2 g (28)
La expresión analítica en componentes cartesianas (ecuación 23) facilita el cálculo con vectores, pues lo hace independiente de las definiciones gráficas de suma y multiplicación por un número.


Suma analítica de vectores

Consideremos dos vectores a y b da­dos por sus componentes rectangulares:
a = ax i + ay j + az k
b = bx i + by j + bz k
Sumando miembro a miembro y apli­cando las propiedades asociativa y distributiva:
a + b = (ax i + bx i) + (ay j + by j) + (az k + bz k) =
= (ax + bx) i + (ay + by) j + (az + bz) k (29)
Es decir, el vector suma tiene por com­ponentes x , y , z la suma de las componentes x , y , z de los sumandos. En ocasiones, por brevedad, nos limitaremos a escribir las com­ponentes, prescindiendo de vectores unitarios:
(ax , ay , az) + (bx , by , bz) =
= (ax + bx , ay + by , az + bz) (30)
Multiplicación por un escalar

Sea un número real m y el vector a = = ax i + ay j + az k ; aplicando la propiedad dis­tributiva respecto de la suma de vectores:
m a = m (ax i + ay j + az k) =
= max i + may j + maz k (31)
Por tanto, el producto de un vector por un número se obtiene multiplicando cada com­ponente del vector por dicho Número.
7. Producto escalar de dos vectores

Dados dos vectores a y b, el producto escalar, a·b , es un número igual al producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman:
a·b = a·b·cos = a b cos (32)
Figura 12

Como se ve en la figura 12, b·cos = OP es la proyección de b en la dirección de a ; también a·cosa = OQ es la proyección de a en la dirección de b. Por tanto, puede decirse que el producto escalar de dos vectores es el módulo de cualquiera de ellos por la proyec­ción del otro sobre el primero:
a·b = a b = b a (33)
De esto se deduce que para proyectar un vector a sobre una dirección cualquiera r , basta multiplicarlo escalarmente por el vector unitario en dicha dirección, ur:
ar = a cos a = a·ur (34)
En particular, las componentes rectan­gulares de a resultan de multiplicar por los vec­tores de la base, i , j , k :
ax = a·i ; ay = a·j ; az = a·k (35)
Si se multiplica escalarmente un vector por sí mismo se obtiene su norma, que es el cuadrado del módulo:
a·a = a·a·cos 0 = a 2 = ax2 + ay2 + az2 (36)
Algunas propiedades del producto es­calar son las siguientes:

a) Conmutativa:
a·b = b·a (37)

b) Asociativa para el producto por un número:
(m·a)·b = m·(a·b) = a·(m·b) (38)

c) Distributiva respecto de la suma:
a·(b + c) = a·b + a·c (39)

d) No asociativa:
a·(b·c) (a·b)·c (40)
Expresión analítica del producto escalar

Los productos de los vectores unitarios entre sí valen:
i·i = j·j = k·k = 1·1·cos 0 = 1 (41)
i·j = j·k = k·i = 1·1·cos /2 = 0 (42)

Teniendo esto en cuenta y aplicando las propiedades distributiva y asociativa es fácil calcular analíticamente el producto escalar de a = ax i + ay j + az k por b = bx i + by j + bz k :

a·b = (ax i + ay j + az k) bx i +
+ (ax i + ay j + az k) by j +
+ (ax i + ay j + az k) bz k =
= (axbx + 0 + 0) + (0 + ayby + 0) + (0 + 0 + azbz)

Es decir, los vectores se multiplican componente a componente y luego se suman los productos:
a·b = ax bx + ay by + az bz (43)
8. Ángulo formado por dos vectores

A partir de la definición de producto es­calar, a·b = a b cos , conociendo las compo­nentes de los vectores se deduce el ángulo que forman entre sí:
(44)
Ahora bien, según (26), los cosenos di­rectores de a y b son: cos a = ax/a , cos b = = bx/b , cos a = ay/a , ... etc. Sustituyendo en la igualdad anterior:
cos =
= cos acos b + cos acos b + cos acos b 
Por otra parte, vimos que los cosenos directores de un vector son las componentes del vector unitario de su misma dirección:
ua = (cos a , cos a , cos a)
ub = (cos b , cos b , cos b)
Así que la igualdad  no es más que el producto escalar:
Cos = ua·ub 

Ejemplo 1: Hallar el ángulo que forman los dos vectores a = i + 2j - 2k y b = 4i + 3j . Calcular también la proyección de a sobre b y la de b sobre a.

El módulo de a es a = (1 + 4 + 4)1/2 = 3; y el de b es b = (16 + 9)1/2 = 5. De acuerdo con la ecuación (44):
cos = (14 + 23 - 20)/(35) = 2/3
Por tanto el ángulo vale = 48,19º. En cuanto a las proyecciones a y b , aplicando la ecuación (33) resulta:
a = a·b/b = 10/5 = 2
b = a·b/a = 10/3 = 3,33

Si queremos hallar las componentes cartesianas de las proyecciones bastará multi­plicar a por el vector unitario en la dirección de b, a·ub = a·b/b ; y b por el vector unitario en la dirección de a, b·a/a.

Si dos vectores son perpendiculares su producto escalar es cero, ya que cos/2 = 0:
a b a·b = a b cos /2 = 0 
Recíprocamente, si a·b = 0 deben ser perpendiculares a menos que a = 0 o b = 0.
Una consecuencia de esto es que no siempre se puede simplificar una igualdad en­tre productos escalares; es decir:

En efecto, pasando el término b·c al otro lado de la igualdad y sacando factor co­mún resulta (a - b)·c = 0 . Pero de aquí no se deduce que a - b = 0 (o sea, a = b) ya que también puede cumplirse si (a - b) c .

 Producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores a y b es otro vector, a b , cuyo módulo vale:
a b = a·b·sen = a b sen 
La dirección es perpendicular a los dos vectores y, por tanto, al plano que determinan:
a b a ; a b b 
En cuanto al sentido, es el que resulta de aplicar la regla del tornillo o de la mano de­recha al giro que lleva a sobre b por el camino más corto; es decir, los vectores a , b y a b tomados por este orden, con un origen común, deben formar un triedro directo o dextrógiro.


Geométricamente, el producto vectorial representa el área del paralelogramo que for­man los dos vectores, por tanto:
a b = a b sen = b·h = S 
Algunas propiedades importantes del producto vectorial son las siguientes:

a) Anticonmutativa:
a b = - b a 

b) Asociativa para el producto por un número:
(m·a) b = a (m·b) = m·(a b) 

c) Distributiva respecto de la suma:
a (b + c) = a b + a c

d) No asociativa:
(a b) c a (b c) 
Expresión analítica del producto vectorial

Primero calcularemos los productos de los vectores unitarios i , j , k; como sen0 = 0 :
i i = j j = k k = 0 
Para el resto de los productos, como los vectores son perpendiculares entre sí y uni­tarios, el resultado es siempre el vector unitario restante o su opuesto. Aplicando la regla del tornillo se deduce que:
i j = k ; j i = - k
j k = i ; k j = - i 
k i = j ; i k = - j
Ahora, aplicando las propiedades dis­tributiva y asociativa al producto vectorial de a = ax i + ay j + az k por b = bx i + by j + bz k :

a b = (ax i + ay j + az k) bx i +
+ (ax i + ay j + az k) by j +
+ (ax i + ay j + az k) bz k =
= - aybx k + azbx j + axby k - azby i - axbz j + aybz i =
= (aybz - azby) i - (axbz - azbx) j + (axby - aybx) k

Esta expresión equivale al desarrollo de un determinante cuya primera fila está for­mada por los vectores unitarios y las otras dos por las componentes de los vectores:
(58)

Si a y b son colineales su producto vectorial es nulo, ya que sen0 = 0 :
a b a b = 0 (59)
Efectivamente, el valor de un determi­nante es cero si tiene dos filas proporcionales:
(60)
Recíprocamente, si a b = 0 y tanto a como b son no nulos, los vectores deben ser colineales.
De aquí se deduce que no siempre es válido simplificar una ecuación entre dos pro­ductos vectoriales:
a c = b c (a - b) c = 0
Pero esta condición no implica que sea a = b (es decir, a - b = 0) pues también se cumple si (a - b) es colineal con c.

Si descomponemos el vector b en dos componentes, una paralela y otra perpendicular a a, como a b = 0, el producto vectorial da:
a b = a (b + b) = a b (61)
Es decir, al contrario que el producto escalar, que sólo afecta a la componente pa­ralela de b, el producto vectorial elimina dicha componente.
10. Sistemas de coordenadas

La posición de un punto del espacio queda determinada por el vector de posición, que va del origen de coordenadas al punto en cuestión.
Las coordenadas cartesianas de P son las componentes del vector de posición r :
P (x , y , z) r = x i + y j + z k (62)

En ocasiones interesa usar otro siste­ma de coordenadas que se ajuste mejor al pro­blema estudiado.

En coordenadas esféricas se utiliza la distancia del punto al origen, r ; el ángulo del vector de posición con el eje Oz, y el ángulo que forma con el eje Ox la proyección de r sobre el plano xy : P (x , y , z) (r , , ). Estas coordenadas se usan, por ejemplo, para localizar un punto sobre la superficie de la Tie­rra (altura, latitud, longitud).
Las ecuaciones que relacionan los dos sistemas de coordenadas son para aquellos problemas en los que todo ocurre en un plano es conveniente orien­tar los ejes Ox y Oy de forma que sean copla­narios con el vector de posición r. Así quedan reducidos a dos dimensiones.


Podemos dar la posición de P por las coordenadas rectangulares x (abscisa) e y (or­denada); o bien mediante la longitud r del vec­tor y su orientación respecto al eje Ox, q :
P (x , y) (r , )
Las coordenadas (r , ) se denominan polares planas y están relacionadas con las cartesianas por las ecuaciones siguientes:
(64)

En estos cambios de coordenadas se mantiene el mismo origen O y, por tanto, es el mismo vector r el que designa la posición de P.


Cuando se cambia a un sistema de re­ferencia centrado en otro origen, O' , el vector de posición r' y las coordenadas (x' , y' , z') son distintos. Si R = (xo , yo , zo) es el vector con origen en O y extremo en O' se cumplirá que:
r = R + r' (65)
Y suponiendo que los ejes no han gira­do y que, por tanto, los vectores de la base son los mismos, la relación entre las coordenadas cartesianas en O y las de O' será:
(66)
11. Superficies y curvas en el espacio

Una ecuación que relaciona las coor­denadas x , y , z establece una condición que cumple un conjunto de puntos del espacio tridi­mensional, una superficie. La ecuación puede ser implícita o explícita:
f (x , y , z) = 0 ; z = f (x , y)

La superficie más sencilla es la de un plano, determinado por uno de sus puntos, Po (xo , yo , zo) y la dirección perpendicular, dada por un vector v = (A·i + B·j + C·k).

Su ecuación se expresa vectorialmente teniendo en cuenta que cualquier vector r - ro contenido en el plano debe ser perpendicular a v (figura 17):
(r - ro)·v = 0
(x - xo) A + (y - yo) B + (z -zo) C = 0

Esta ecuación es de tipo lineal en las variables x , y , z :
A x + B y + C z + D = 0 (67)

Dos superficies, al cortarse, delimitan una curva en el espacio:
f (x , y , z) = 0 ; g (x , y , z) = 0
En particular, dos planos dados por sus ecuaciones (67) determinan una recta. Pero la ecuación de la recta que pasa por un punto Po , con dirección dada por el vector v = (A , B , C) se puede expresar también en forma vectorial (figura 18).


Teniendo en cuenta que el vector r - ro con origen en Po y extremo en un punto cual­quiera de la recta debe ser colineal con v:
r - ro = v r = ro + v (68)
Es decir, las componentes de r - ro y v son proporcionales:
(69)
Otra manera de expresar la ecuación de una curva es en forma paramétrica. Con­siste en dar las coordenadas de los puntos de la curva en función de otra variable o pará­metro. De esta forma se define el conjunto de puntos que constituye la curva y además, una ordenación o sentido de recorrido de estos. Por ejemplo, es el parámetro en la ecuación (68) de la recta; al dar valores a se van obtenien­do las coordenadas de puntos sucesivos:
x = xo + A
y = yo + B (70)
z = zo + C

En Física se suele usar el tiempo como parámetro: x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t) ; o , vec­torialmente, r = r(t). Así, una curva en el espa­cio tiene el significado de trayectoria, ya que nos dice el orden en que van siendo recorridos los puntos.
Otro parámetro utilizado con frecuencia es la longitud de arco s medida sobre la curva desde un punto que se toma como referencia. En la ecuación de la recta, tendrá este signi­ficado si el vector v es unitario.



Ejemplo 2: Escribir la ecuación de la curva del plano x2 + y2 = 4 en función de un parámetro de forma que el recorrido empie­ce en el punto (0 , 2).

La curva es una circunferencia con centro en el origen y radio R = 2. La coorde­nada x de un punto P cualquiera puede po­nerse en función del parámetro q de la forma: x = 2sen q ; así, para = 0 x = 0 .


Sustituyendo x2 = 4sen2 en la ecua­ción implícita resulta:
y2 = 4(1-sen2) = 4cos2 y = 2cos
Se cumple que y = 2 para = 0 . El parámetro tiene el significado de un ángulo: el que forma el radio OP con el eje Oy.